考研数学：对称矩阵有哪些重要性质？

说高考 03-09 2 抢沙发

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以下是关于对称矩阵重要性质的总结表格：

性质	描述	备注
定义	对称矩阵是指矩阵等于其转置矩阵，即 A = A^T，元素满足 a{ij} = a{ji}。	对称矩阵必须是方阵。
特征值	对称矩阵的特征值都是实数。	这一性质在优化问题和物理系统中非常重要。
特征向量	对称矩阵的特征向量是正交的。	不同特征值对应的特征向量彼此正交。
对角化	对称矩阵可以被正交对角化，即存在正交矩阵 Q 使得 Q^T A Q = D，其中 D 是对角矩阵。	正交矩阵满足 Q^T = Q^{-1}。
可交换性	两个对称矩阵的乘积是对称的，当且仅当这两个矩阵可交换。	即 AB = BA。
正定性	如果对称矩阵是正定的，则其所有特征值都为正；半正定则特征值非负。	正定矩阵在优化和机器学习中有广泛应用。
秩与分解	对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数，且可以分解为 A = Q \Lambda Q^T。	\Lambda 是对角矩阵，Q 是正交矩阵。
子矩阵性质	对称矩阵的每个子矩阵也是对称矩阵。	这一性质在分块矩阵运算中非常有用。
应用领域	对称矩阵广泛应用于物理学、统计学、优化理论、信号处理和机器学习等领域。	例如，协方差矩阵、海森矩阵等都是对称矩阵。